皮尔逊—Ⅲ型分布统计参数的确定

任伯帜¹，许仕荣²，王涛²

(1.湘潭工学院土木工程系，湖南湘潭 411201；2.湖南大学土木工程学院，湖南长沙410082)

　　摘要：在参与长沙市暴雨强度公式的编修实践中，应用二元插值理 论细化及扩展离均系数表，用最小二乘法适线确定皮尔逊—Ⅲ型分布统计参数，验证结果表 明用该方法获得的皮尔逊—Ⅲ型理论频率曲线与实测暴雨强度统计资料拟合得最好。
　　关键词：暴雨强度公式；统计参数；频率分析；二元插值理论 ；最小二乘法适线
　　中图分类号：TU832.6
　　文献标识码：C
　　文章编号： 1000-4602(2001)01-0040-03

　　在编制城市暴雨强度公式时，从各历时降雨强度数列表得到降雨强度—降雨历时—重现期( 即I-t-P)数据关系表，一般有两种方法：①经验频率法；②用某种理论或经验的频率曲线对各历时降雨强度数列中的经验数据进行调整，再得出I-t-P表。皮尔逊—Ⅲ型分布曲线3个待定参数(均值x、离差系数Cv和偏差系数Cs)的确定通常采用矩法、极大似然法和适线法，其中适线法又包括试错适线法、三点(或五点)适线法、最小二乘法适线等。实际工作中发现矩法误差大，极大似然法试算结果的敏感度不强，计算繁杂，有时还得不到合理的共解，再者系列中最小值对估计参数影响极大，故水文数据不齐全，一般不随便使用。适线法中的三点法除受计算者的主观因素影响外，在数据点较多较散乱时，结果往往不理想，曲线远离经验频率点；试错适线法要人为修改3个参数，往往受计算者的主观因素影响含一定的经验性，特别是曲线的外延部分差别更大，加之在以往的适线法中，离均系数Φ是人为直线内插所得，计算烦琐，精度不高，从而给参数确定带来一定的困难。为解决这一困难，在计算机的辅助下，应用二元插值及最小二乘法联合求解，从而可确定三参数。

　　1 皮尔逊—Ⅲ型分布理论

　　皮尔逊—Ⅲ型分布的密度函数为：

　　式中α、β、α0经适当换算，可以用3个统计参数x、Cv、C s表示：

　　皮尔逊—Ⅲ型分布曲线见图1。通过频率分析，可求出相应于指定频率(P%)的数值xp。

图1 皮尔逊—Ⅲ型分布曲线图

　　令t=β(x-α0)，用代换积分法得：

　　由式(4)可知，当P已知时，tP仅依赖于α或Cs(因α= 4C2s)，将式(2)代入tP=β(xP-α0)得：

　　式中　Φ—— 离均系数
  　　　　　xP—— 由分布曲线得出的暴雨强度
　　当已知P及Cs后，tP可求，则：

　　因此，在已知x、Cv或Cs的条件下，频率曲线(P与xP的关系)就能绘制出，从而可得到(I-t-P)数据表。

　　2  三参数(x、Cv、Cs)的确定

　　2.1(P，Cs) —Φ值表细化及扩展
　　用皮尔逊—Ⅲ型曲线拟合时，影响拟合精度的主要因素为Φ值，因此选用二元三点插值 方式将(P，Cs)—Φ表细化及扩展。制定所需的(P，Cs)—Φ 表的方法为：
　　设P为x方向，Cs为y方向，Φ为插值点对应的函数值Z(x，y )。已知函数Z(x，y)的第一个变量x的结点为xi(不一定等距，i=0，1 …n)，第二个变量y的结点为yj(不一定等距，j=0，1，…m)，其对 应结点上的函数值为Zij(i=0，1，2…n，j=0，1，2…m)。对于给定的不是结点的值(x，y)，分别选取最靠近x的3个点(xq，x q+1，xq+2)和靠近y的3个点(yu，yu+1 ，yu+2)，用二元三点插值公式计算出相应的Z(x，y)，即 可得到所需的(P，Cs)—Φ表。
　　显然，插值点分布越均匀越密，其对应的函数值相差越小，插值结果越精确。
　　2.2最小二乘法适线
　　由最小二乘法的原理可知，为使一定历时段内的经验频率点所对应的实测暴雨强 度xi(又称经验频率强度)与理论频率点所得出的暴雨强度xP(又称理论频率强 度)拟合得较好，则只需使经验频率强度与理论频率强度的离差平方总和或数学期望为最 小，即目标函数为：

　　将式(7)代入式(8)得：

　　若已知经验频率P′，给定一个Cs，由二元三点插值法可得与之相应的Φ值 ，由式(10)可解出Cv。将Cs从0开始，按一定步长Δ增长(Δ可取0.01)，从而 得到不同组(Cs，x，Cv)值，每一组(Cs，x， Cv)值都对应一条皮尔逊—Ⅲ型理论频率曲线，也对应一个按式(9)计算的R 值，最后选用R值最小的一组(Cs，x，Cv)作为计算结果， 计算流程见图2。

图2  计算流程图

　　3  应用实践

　　长沙市有连续25 a记录的雨量资料，根据《室外排水设计规范》规定，每场暴雨取5 、10、15、20、30、45、60、90、120 min等9个历时段的最大降雨强度，采用年多个样法 每年取6个最大值，每个历时的暴雨强度不分年次从大到小排序，选取其中前n(n 一般取4倍年份数)个样本作为频率分析的基础资料。经验频率按P′＝m 1+n 计算(m为序号)，编制出采取矩法、试错适线法、三点适线法及笔者的方法确 定皮尔逊—Ⅲ型分布统计参数及相应的暴雨强度公式参数的应用程序，计算结果 见表1。由绘图模块在海森几率格纸上绘制出各方法求得的理论频率曲线与经验点的拟合情 况(见图3～4)。

  　　从表1可知，在拟合准则及比较指标均相同的条件下，无论σ绝还是σ总绝， 笔者的方法均优于试错适线法。由图3、4可见，笔者的方法与经验点的拟合情况最好。

图3皮尔逊—Ⅲ型理论频率曲线( 笔者的方法)	图4皮尔逊—Ⅲ型理论频率曲线( 试错适线法)

　　4  结语

　　通过确定皮尔逊—Ⅲ型分布统计参数严谨的数学过程推求，结合长沙市的具体实践验证 ，得出如下结论：
　　①笔者的方法由计算机自动调整参数Cs，减少了人为因素的影响。
　　②该计算方法简单、速度快、精度高、适线较好，在推求长沙市暴雨强度公式 的实践中证明是合理可行的，可用于城市暴雨强度理论频率曲线的计算。

　　参考文献：
　　［1］金光淡.水文统计原理与方法［M］.北京：中国工业出版社，1964.
　　［2］邓建中，葛仁杰.计算方法［M］.西安：西安交通大学出版社，1985.
　　［3］范鸣玉，张莹.最优化基础［M］.北京：清华大学出版社，1982.

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　　收稿日期：2000-10-09